Comment mettre à jour la base de données en cochant la case avec jquery ?

Vous l'avez presque. il vous suffit de lire l'état de votre case à cocher et de le renvoyer avec votre requête POST.

$(function(){
    $("#myonoffswitch").click(function(){
        var isOn = $("#myonoffswitch").prop("checked");
        $.post("notification.php", { 'onoffswitch': isOn }, function (result) {
            //handle success here
        });
    });