Si vous souhaitez remplacer tous les signes dollar, utilisez ceci :
update test1
set name = replace(name, '$', '');
Si vous souhaitez remplacer le $ seulement au début de la valeur, vous pouvez utiliser substr() et un where clause pour ne changer que les lignes où la colonne commence réellement par un $
update test1
set name = substr(name, 2)
where name like '$%';