Dans sa forme la plus simple, vous utiliseriez le LIKE
comparaison :
SELECT * FROM table WHERE name LIKE '%smith%';
Des recherches plus élaborées peuvent être effectuées avec l'index FULLTEXT (grandes quantités de texte), SOUNDEX()
(fonctionne sur des mots en anglais, la correspondance dans d'autres langues va de "quelque peu réalisable" à "terrible"), distance levenshtein des mots, etc.