Je n'arrive pas à comprendre comment mettre à jour ma dernière heure de connexion

Dans votre requête ici :

UPDATE users_table SET 'date_last_inlog' = NOW() WHERE user_name  = '$user_name'

Essayez de supprimer les guillemets autour de date_last_inlog ou les changer en backticks :

UPDATE users_table SET date_last_inlog = NOW() WHERE user_name  = '$user_name'

Aussi, n'utilisez pas le mysql_* fonctions, utilisez mysqli ou PDO Au lieu. Votre code est vulnérable à l'injection SQL.