Comment puis-je vérifier si MySQL et Tomcat fonctionnent ?

Le moyen le plus simple serait de simplement connecter le serveur et de voir s'il réussit.

MySQL :

Connection connection = null;
try {
    connection = DriverManager.getConnection(url, username, password);
    // Succes!
} catch (SQLException e) {
    // Fail!
} finally {
    if (connection != null) try { connection.close(); } catch (SQLException ignore) {}
}

Chat :

try {
    new URL(url).openConnection().connect();
    // Succes!
} catch (IOException e) {
    // Fail!
}

Si vous voulez un statut un peu plus spécifique, par ex. vérifier si une certaine table DB est disponible ou si une ressource webapp spécifique est disponible, alors vous devez déclencher un SELECT plus spécifique instruction ou requête HTTP respectivement.