Comment un constructeur de classe enfant interagira-t-il avec un constructeur de classe parent en php ?

Si le constructeur de la classe enfant ne fait rien d'autre, vous pouvez omettre le constructeur.

Juste ce qui suit est correct :

class CheckOut extends DB_MySQL{
}

Mais si le constructeur de la classe enfant doit faire un autre travail, oui, vous devez faire :

class CheckOut extends DB_MySQL{

    public function __construct($dbuser, $dbpass, $dbhost, $dbname) 
    {
        parent::__construct($dbuser, $dbpass, $dbhost, $dbname);
        do_some_other_work();
    }
}

Lorsque vous utilisez, vous devez tous les deux appeler :

$checkout = new CheckOut($dbuser, $dbpass, $dbhost, $dbname);