La réponse courte est que toDateTimeString() est ce que vous cherchez :
$input['published_at'] = Carbon::now()->toDateTimeString();
Voir http://carbon.nesbot.com/docs/
pour plus d'options, y compris toDateString() si vous voulez juste la partie date et non l'heure.
Mais une meilleure façon de gérer cela serait de laisser Laravel gérer la conversion de la valeur de date vers/depuis un objet Carbon pour vous. Voir https://laravel.com/docs/5.4/eloquent-mutators# date-mutators .
