Si vous soustrayez le jour du mois en cours de la date et ajoutez 1, vous avez le début du mois en cours. Vous pouvez utiliser cette logique :
where time between date_sub(curdate(), interval day(curdate()) - 1 day) and
date_sub(date_add(date_sub(curdate(), interval day(curdate()) - 1 day), interval 1 month), interval -1 day)