1. Oui, vous pouvez avoir plusieurs connexions à la base de données. Vous n'ouvrez pas une base de données, vous ouvrez une connexion à une base de données. La base de données est "ouverte" (c'est-à-dire en cours d'exécution) tout le temps, de manière générale, que vous y soyez connecté ou non.
2. Cela dépend... si vous n'avez qu'une seule connexion ouverte sur une page, vous n'avez pas besoin de la fermer car elle se fermera automatiquement lorsque PHP aura terminé. Si vous en avez plusieurs, vous risquez de ralentir le serveur de base de données ou de faire en sorte que le serveur de base de données manque de connexions disponibles (il ne peut avoir qu'un certain nombre de connexions ouvertes en même temps). Cela dit, la plupart des serveurs de base de données modernes peuvent gérer des centaines de connexions simultanées.
3. Facultatif, mais recommandé. Ce n'est pas un gros problème pour les petits et moyens projets (c'est-à-dire que si vous avez moins de 100 visiteurs simultanés à un moment donné, vous n'aurez probablement aucun problème malgré tout). Étant donné que vous avez plusieurs milliers de visiteurs par minute, vous devez activement fermer la connexion à la base de données dès que vous en avez terminé, pour la libérer dès que possible.