la table est spécifiée deux fois en tant que cible pour INSERT et en tant que source de données distincte

MySQL fait autoriser l'utilisation de la même table pour la source et la cible pour les inserts . Il vous suffit d'utiliser la syntaxe correcte :

INSERT INTO data_waktu_vaksinasi (id_binatang, id_vaksin, tanggal_vaksin, status_vaksin) 
     SELECT 1, 1, DATE_ADD(max(tanggal_vaksin), INTERVAL 1 YEAR), 'belum'
     FROM data_waktu_vaksinasi;