Script Ajax Jquery simple - Comment puis-je obtenir des informations pour chacune des lignes du tableau ?

L'ancienne extension MySQL mysql est obsolète, mieux vaut utiliser mysqli ou PDO !

mysql_fetch_row() renvoie seulement 1 ligne ! Vous devez le mettre dans une boucle, par exemple :

$data = array();
while ( $row = mysql_fetch_row($result) )
{
  $data[] = $row;
}
echo json_encode( $data );

Vous devez également modifier le JavaScript :

$.ajax({                                      
  url: 'api.php', data: "", dataType: 'json',  success: function(rows)        
  {
    for (var i in rows)
    {
      var row = rows[i];          

      var id = row[0];
      var vname = row[1];
      $('#output').append("<b>id: </b>"+id+"<b> name: </b>"+vname)
                  .append("<hr />");
    } 
  } 
});

Au fait, je vous recommande d'utiliser mysql_fetch_assoc() car cela rend votre code plus flexible et plus propre.