Je suis sûr que cela est déjà résolu, mais pour les personnes ayant un problème similaire.
Vous pouvez également essayer plusieurs jointures à gauche pour obtenir toutes les données
SELECT *, IF (users.type = 1, p.name, c.name) AS name FROM users
LEFT JOIN private AS p ON (users.type = 1 AND users.id = p.user_id)
LEFT JOIN company AS c ON (users.type != 1 AND users.id = c.user_id)