Votre instruction select est plus complexe qu'elle ne devrait l'être, vous obtiendrez le même ensemble de cette façon :
SELECT emp.employee_id,min(bo.booking_date) booking_date
FROM employee emp
LEFT JOIN booking bo
ON bo.employee_id = emp.employee_id
WHERE emp.joining_date is NULL
GROUP BY emp.employee_id;
Votre mise à jour peut être faite comme ceci, notez que la section "et existe" est facultative mais j'ai tendance à l'inclure pour rendre l'intention de la requête plus claire.
UPDATE employee emp
SET emp.joining_date =
(SELECT min(booking_date) from booking bo where bo.employee_id = emp.employee_id)
WHERE emp.joining_date IS NULL
and exists(select * from booking bo where bo.employee_id = emp.employee_id);