Utilisation de $existe dans une expression MongoDB

Vous devrez utiliser le $or opérateur logique pour le faire.

{
   "$or": [
      {
         "$expr": {
            "$ne": [
               "$firstName",
               "$lastName"
            ]
         }
      },
      {
         "fullName": {
            "$exists": true
         }
      }
   ]
}

Votre dernière requête a échoué car mongod pense que $exists est l'expression que vous transmettez au $expr opérateur.